“Birinci kesir aynen kalır, ikinci kesir ters çevrilir ve çarpılır.”
Kesirlerde bölme işlemini öğrenirken en sık duyduğumuz cümlelerden biri bu. Öğrenciler birkaç örnekten sonra kuralı uygulayabiliyor. Ancak “Neden ikinci kesri ters çeviriyoruz?” diye sorduğumuzda işlemin adımlarını yeniden anlatmaları, gerekçesini açıklamalarından daha kolay olabiliyor.
Prosedürler işimizi kolaylaştırır. Nedenini anlamak ise yaptığımız işlemi mantıklı bir zemine oturtur.
Bu kuralı açıklamak için öğrencilerin bildiği birkaç ilişkiyi bir araya getirebiliriz: Kesir çizgisi bölmeyi ifade eder, bölünen ve bölen aynı sıfırdan farklı sayıyla çarpıldığında bölüm değişmez ve bir sayıyı 1’e bölmek o sayının değerini korur.
Önce bildiğimiz bölme işlemlerine bakalım
Doğal sayılarla yaptığımız bir bölme işlemini kesir çizgisiyle de gösterebiliriz:
10 ÷ 5 = 10/5 = 2
Buradaki kesir çizgisi, paydaki sayının paydadaki sayıya bölündüğünü anlatır.
Ardından iki basit örneği hatırlayalım:
8 ÷ 8 = 1
6 ÷ 1 = 6
Sıfırdan farklı bir sayıyı kendisine böldüğümüzde 1 elde ederiz. Bir sayıyı 1’e böldüğümüzde ise sonuç o sayının kendisidir.
Özellikle ikinci ilişkiyi aklımızda tutalım. Çünkü birazdan kesirlerle bölme işlemini, böleni 1 olan bir işleme dönüştüreceğiz.
Bölüneni ve böleni birlikte değiştirirsek ne olur?
Şu işlemleri inceleyelim:
10 ÷ 5 = 2
20 ÷ 10 = 2
30 ÷ 15 = 2
İlk işlemde bölüneni ve böleni 2 ile çarptığımızda ikinci işlemi, 3 ile çarptığımızda üçüncü işlemi elde ediyoruz. Sayılar değişiyor ama bölüm değişmiyor.
Bu ilişkiyi denk kesirlerden de tanıyoruz:
2/3 = 6/9
Payı ve paydayı aynı sıfırdan farklı sayıyla çarpmak, kesrin değerini değiştirmez.
Başlangıçta bu işlemi doğal sayılarla yapmış olabiliriz. Aynı ilişki, sıfırdan farklı bir kesirle çarptığımızda da geçerlidir.
Bu nedenle bir bölme işlemini daha kolay bir biçime dönüştürmek istersek, bölüneni ve böleni aynı sıfırdan farklı sayıyla çarpabiliriz.
Bir kesri nasıl 1 yapabiliriz?
Örneğin 4/5’i hangi sayıyla çarparsak 1 elde ederiz?
4/5 × 5/4 = 20/20 = 1
Benzer biçimde:
2/3 × 3/2 = 1
2/5 × 5/2 = 1
Sıfırdan farklı bir kesri, pay ve paydasının yer değiştirdiği kesirle çarptığımızda sonuç 1 olur. Bu sayıya kesrin çarpmaya göre tersi deriz.
Yani “ters çevirme” adımı rastgele seçilmiş bir hareket değildir. Çarpımın 1 olmasını sağlayan sayıyı buluyoruz.
Şimdi iki kesri bölelim
İşlemimiz şu olsun:
3/4 ÷ 2/5
Amacımız bu işlemi, böleni 1 olan daha kolay bir bölme işlemine dönüştürmek.
Bölenimiz 2/5. Onu 1 yapmak için 5/2 ile çarpabiliriz:
2/5 × 5/2 = 1
Ancak yalnızca böleni değiştirirsek aynı bölme işlemini koruyamayız. Bölümün değişmemesi için bölüneni de aynı sayıyla çarpmalıyız.
Bu yüzden:
3/4 ÷ 2/5 = (3/4 × 5/2) ÷ (2/5 × 5/2)
Bölen artık 1 oldu:
= (3/4 × 5/2) ÷ 1
Bir sayıyı 1’e bölmek değerini değiştirmediği için:
= 3/4 × 5/2 = 15/8
İşte kesirlerde bölme yaparken kullandığımız kısa yol burada ortaya çıkıyor.
İkinci kesrin çarpmaya göre tersini kullanarak böleni 1 yapıyoruz. Bölümün değerini korumak için birinci kesri de aynı sayıyla çarpıyoruz.
“Birinci kesir aynen kalır” derken neyi kısaltıyoruz?
İşlemin kısa yazılışına baktığımızda birinci kesir yerinde duruyor, ikinci kesir ters çevriliyor ve aradaki bölme işareti çarpmaya dönüşüyor gibi görünüyor:
3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2
Oysa açıklama adımlarında yaptığımız işlem daha kapsamlı: Bölüneni ve böleni aynı sayıyla çarpıp böleni 1’e dönüştürüyoruz. Sonrasında 1’e bölme adımını yazmaya gerek kalmıyor.
Öğrencinin gördüğü kural, bu dönüşümün kısa yazılışı.
Bu bağlantıyı kurduğumuzda “Neden ikinci kesir?” sorusuna da cevap verebiliriz: Çünkü 1’e dönüştürmek istediğimiz sayı, bölendir.
Sınıfta hangi soruları sorabiliriz?
Açıklamayı baştan sona öğretmenin yapması yerine, öğrencilerin adımları tamamlamasını sağlayabiliriz:
- 2/5’i hangi sayıyla çarparsak 1 elde ederiz?
- Yalnızca böleni değiştirirsek bölüm aynı kalır mı?
- Bölümün değişmemesi için bölünene ne yapmalıyız?
- Bölen 1 olduğunda işlem neden kolaylaşır?
Ardından 2/3 ÷ 4/7 işlemini verip doğrudan kısa yolu kullanmalarını değil, önce böleni nasıl 1 yapacaklarını açıklamalarını isteyebiliriz.
Öğrencinin “İkinci kesri ters çeviriyorum.” demesinin yanında, “4/7’yi 1 yapmak için 7/4 ile çarpıyorum; bölüm değişmesin diye 2/3’ü de 7/4 ile çarpmalıyım.” diyebilmesi, işlemin gerekçesini kurduğunu gösterir.
Kuralın arkasındaki ilişki
Kesirlerde bölme işleminde ikinci kesri ters çevirip çarpmak, her seferinde uzun uzun yazmamıza gerek olmayan kullanışlı bir kısa yoldur.
Bu kısa yolun dayandığı düşünce ise şudur:
Böleni 1 yap. Bölümün değerini korumak için bölüneni de aynı sayıyla çarp.
Öğrenci bu ilişkiyi gördüğünde, kural yalnızca hatırlanması gereken bir cümle olmaktan çıkar; neden işe yaradığını açıklayabildiği bir yönteme dönüşür.