RASYONEL SAYILAR NASIL ANLATILIR?

Rasyonel sayıları anlatırken yalnızca işlem kurallarını vermek yeterli olmuyor. Öğrencinin kesir, bölme, oran, ondalık gösterim ve yüzde arasında bağ kurabilmesi; aynı sayının farklı gösterimlerini tanıyabilmesi gerekiyor. Bu yazıda, öğretim için hazırladığım sunumdaki kavramsal açıklamaları ve kesir çubuklarıyla yaptığım modellemeleri aynı sıra içinde paylaşıyorum.

Önce kesir ile rasyonel sayı arasındaki bağı kuracağız. Ardından sayı doğrusuna ve farklı gösterimlere bakıp bileşik kesirlerden dört işleme doğru ilerleyeceğiz. Amaç, öğrencinin bir kuralı uygulamadan önce o kuralın neden işe yaradığını görebilmesi.

Kesir ve rasyonel sayı arasındaki bağ

Kesir kavramı, eş parçalara bölünmüş bir bütünün bir veya birkaç parçasını; iki sayının birbirine bölümünü; bir topluluğun ya da koleksiyonun bazı parçalarını ifade edebilir. “Kesir” sözcüğü Arapça kökenlidir; parçalamak ve küçültmek anlamlarıyla ilişkilidir. Sunumda, Ömer Hayyam’ın kesri “iki sayının birbirine bölümü” olarak ele alan tanımına da yer vermiştim.

Kesir öğretiminde sık yapılan hatalardan biri, yalnızca parça–bütün ilişkisi üzerinde durmak. Oysa kesir gösterimi bölme ve oran anlamlarını da taşıyor. Tanımın üzerinden geçerken bu anlamları özellikle görünür kılmalıyız.

• 2/5, beş eş parçaya ayrılmış bir bütünün iki parçasını gösterebilir.
• 2/5, 2’nin 5’e oranını gösterebilir.
• 2/5 = 0,4, 2’nin 5’e bölünmesini ve aynı rasyonel sayının farklı gösterimlerini ifade edebilir.

Ortaokul ve öncesinde kavramları çoğunlukla bağlamlar üzerinden şekillendiriyoruz. Sunumumu da kesir ve rasyonel sayı kavramlarının, okul matematiğinde kullanılan bu bağlama dayalı anlatımı üzerinden hazırladım. Özellikle negatif sayılarla çalışırken, parça–bütün modelinin tek başına yeterli olmayacağını akılda tutmak gerekiyor.

Öğretmen için formal tanım

ℤ* = ℤ ∖ {0} olsun. ℤ × ℤ* üzerinde (a, b) ∼ (c, d) ⇔ a·d = b·c bağıntısını tanımlayalım. Bu denklik bağıntısının oluşturduğu her denklik sınıfı bir rasyonel sayıyı temsil eder; (a, b) gösterimi a/b olarak yazılır.

Örneğin {1/2, 2/4, 6/12, 9/18, …} ve {−2/3, −4/6, −10/15, …}, birbirine denk kesirlerin yer aldığı iki ayrı denklik sınıfıdır. Bir rasyonel sayının sonsuz sayıda kesir gösterimi vardır. En sade gösteriminde pay ve paydanın 1’den büyük ortak böleni yoktur; yani aralarında asaldırlar.

7. sınıfta “denklik sınıfı” kavramını kullanmamıza gerek yok. Ancak öğrencinin, denk kesirlerin sayı doğrusunda aynı noktayı temsil ettiğini keşfetmesini sağlayabiliriz. Bu, kesir gösterimi ile rasyonel sayı arasındaki bağı kurmak için değerli bir adım.

Rasyonel sayıların kesir, ondalık ve yüzde gösterimleri; sıralama, yoğunluk ve birim eleman gibi özellikleri, doğal ve tam sayılarla çalışırken edinilen alışkanlıkların ötesine geçmeyi gerektirir. Bu nedenle farklı temsilleri birlikte sunmak, somut modeller kullanmak ve sezgiye dayalı bir öğrenme ortamı oluşturmak önem taşıyor.

Rasyonel sayılara ilk adım: Ön bilgileri görünür kılalım

Yeni bilgileri, öğrencinin bildikleriyle ilişkilendirerek ilerleyelim. Doğal sayılardan rasyonel sayılara anlamlı bir geçiş için önce şu sorulara nasıl yanıt verdiğini dinleyelim:

• Doğal sayı nedir? Tanımlayabilir misin?
• Tam sayı nedir? Tanımlayabilir misin?
• Kesir nedir? Tanımlayabilir misin?
• Ondalık gösterim nedir? Tanımlayabilir misin?
• Bunları sayı doğrusunda gösterebilir misin?

Burada yalnızca tanımı söylemesiyle yetinmeyelim. Örnek vermesini ve söylediği şeyi sayı doğrusunda göstermesini isteyelim. Böylece yeni konuya geçmeden önce hangi bağları kurabildiğini görebiliriz.

Rasyonel sayılara neden ihtiyacımız var?

Sayı doğrusu sonsuz sayıda noktadan oluşur. Tam sayılar arasında, tam sayılarla ifade edemediğimiz noktalar da vardır. Bunu gözlemlemek için cetveli incelemek iyi bir başlangıç olabilir.

Öğrencilere “1’den 5’e kadar, uçlar dâhil, kaç tam sayı vardır?” diye soralım. Ardından “0 ile 1 arasında, uçlar hariç, kaç tam sayı vardır?” ve “1 ile 2 arasında kaç tam sayı vardır?” sorularını yöneltelim.

Rasyonel sayılar, tam sayılar arasındaki bu noktalardan bazılarını ifade etmemizi sağlar. Uzunluk, kütle ve zaman gibi miktarları göstermek için doğal ve tam sayılar tek başına yeterli değildir. Örneğin −1,5; 1/2; 2,75 ve %10 gibi gösterimlere ihtiyaç duyarız.

Görselde doğal sayılar kümesinin tam sayılar, tam sayılar kümesinin de rasyonel sayılar içinde yer aldığını görüyoruz: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. Rasyonel sayılar sayı doğrusunun bütün noktalarını doldurmaz; burada temsil ettikleri noktaları fark etmeye odaklanıyoruz.

Rasyonel sayıları fark edelim

Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı biçiminde yazılabilen sayılardır; payda sıfır olamaz. Rasyonel sayılar kümesi ℚ ile gösterilir. Sunumda, bu sembolü bölme anlamıyla ilişkilendirmek için “quotient” sözcüğünden yararlanıyorum.

Burada “yazılabilen” sözcüğüne dikkat edelim: Bir sayının karşımıza mutlaka a/b biçiminde çıkması gerekmez. Tam sayı, ondalık ya da yüzde gösterimiyle de karşılaşabiliriz. Önemli olan, iki tam sayının bölümü olarak ifade edilebilmesidir.

• −3 = −3/1
• 1,666… = 5/3 (6 rakamı sonsuza kadar tekrar eder.)
• 0 = 0/1
• √4 = 2 = 2/1
• %90 = 9/10
• 2,45 = 49/20

Bu anlatımda tam sayı pay ve payda üzerinde çalışıyorum. Öğretimi, “Her kesir rasyonel sayı belirtir mi?” sorusundaki tanım tartışmasından çok, öğrencinin farklı gösterimler arasındaki bağı fark etmesi üzerine kuruyorum.

Payda neden sıfır olamaz?

Öğrencilerin sık sorduğu sorulardan biri bu. 2/0 = a olduğunu varsayalım. Bölme ile çarpma arasındaki ilişkiye göre 2 = 0·a olması gerekir. Oysa her a için 0·a = 0’dır. 2 = 0 olamayacağı için böyle bir a yoktur; bu bölme tanımsızdır.

0/0 = b olduğunu varsaydığımızda ise 0 = 0·b eşitliği her b için sağlanır. Tek bir sonuç belirlenemez. Bu nedenle 0/0 da bir sayı olarak tanımlı değildir; sunumdaki belirsizlik açıklaması bu duruma işaret eder.

Etkinlik: Hesap makinesiyle farklı gösterimleri keşfedelim

Tahtaya çok sayıda kesir gösterimi yazalım. Sunumdaki başlangıç örnekleri şunlar: 16/4, 1/9, −4/16, −27/3 ve 24/5. Öğrencilerden hesap makinesiyle bölümleri bulup yanlarına yazmalarını isteyelim.

• 16/4 = 4
• 1/9 = 0,111…
• −4/16 = −0,25
• −27/3 = −9
• 24/5 = 4,8

Sonra sonuçları birlikte inceleyelim. Aynı sayı kümesinin üyeleri doğal sayı, tam sayı, sonlu ondalık ya da devirli ondalık gösterimiyle karşımıza çıkabiliyor. Önceki örneklerdeki yüzde ve √4 gibi ifadeleri de bu konuşmaya ekleyebiliriz.

Bileşik kesirlerden tam sayılı kesirlere

Rasyonel sayılarla işlem yapmak, kesir gösterimleriyle yakından çalışmayı gerektiriyor. Buradan itibaren kesir çubuklarıyla bu gösterimleri ve işlemleri nasıl somutlaştırabileceğimize bakalım. Sunumdaki modelleri hazırlarken Polypad aracını kullandım.

Çubukları aynı bütün uzunluğunu referans alarak yan yana yerleştirelim. Öğrenci, bir bütünün dolduğu ve parçaların devam ettiği anı görsün. Böylece kesrin yalnızca bir bütünün içindeki parçalardan oluşmadığını, birden fazla bütünü de temsil edebildiğini fark eder.

Farkındalık: Payı paydasından büyük olan pozitif bileşik kesirler ve bunların tam sayılı gösterimleri 1’den büyük bir miktarı temsil eder. Payın paydaya eşit olduğu bileşik kesir ise tam olarak 1’dir.

Modelde 8/3 = 2 + 2/3 = 2 tam 2/3 olduğunu görüyoruz. Üçte birlik sekiz parçadan altısı iki bütünü oluşturuyor; iki parça kalıyor. Bölme işleminde bölümün tam kısım, kalanın pay, bölenin payda olmasının nedenini bu model üzerinden konuşabiliriz.

Denk kesirler: Görünüş değişir, büyüklük değişmez

Denk kesirlere neden ihtiyaç duyarız? Sunumdaki soruyla başlayalım: Ayşe’nin babası, beğendiği telefonun fiyatının 10/15’ini Ayşe’ye verecektir. Ayşe’nin babasından aldığı parayı daha basit biçimde nasıl ifade edebiliriz?

On beşte birlik parçaları beşer beşer grupladığımızda aynı miktarı 2/3 olarak ifade edebiliriz. Payı ve paydayı aynı sıfırdan farklı sayıya bölmek, miktarı değiştirmez; onu daha sade bir gösterimle yazmamızı sağlar.

Farkındalık: Büyük sayılarla çalışmak işlemi zorlaştırabilir. Denk gösterimler, aynı büyüklüğü daha kolay kullanılabilen sayılarla ifade etmemizi sağlar.

Kesir çubukları, alan modelleri ve sayı doğrusu aynı düşünceyi farklı yollardan görünür kılar: Denk kesirler sayısal olarak farklı görünür, fakat büyüklükleri aynıdır. Genişletirken daha küçük parçalardan daha fazla sayıda kullanırız; sadeleştirirken parçaları gruplarız.

Kesirleri karşılaştırma ve sıralama

Önce aynı bütün üzerinden hazırlanan kesir çubuklarını karşılaştıralım. Çubukların uçlarının geldiği yer, hangi miktarın daha büyük olduğunu gösterir. Sonra bu büyüklükleri sayı doğrusunda aynı noktalara taşıyalım.

Sunumdaki 3/4, 1/2 ve 5/8 örneklerinde ortak payda 8 seçilebilir: 6/8, 4/8 ve 5/8. Böylece 1/2 < 5/8 < 3/4 sıralamasını hem parçaları sayarak hem de sayı doğrusunda görerek kurarız.

Farkındalık: Karşılaştırma ve sıralamada pay ya da payda eşitlemek kolaylık sağlar. Ancak işlemden önce, karşılaştırdığımız bütünlerin aynı büyüklükte olduğundan emin olmalıyız.

Kesirleri toplama ve çıkarma: Ortak ölçü bulmak

2 m + 50 cm = 200 cm + 50 cm yazdığımızda ölçü birimlerini eşitliyoruz. Kesirlerde de aynı ihtiyaç var. Eşit payda, aynı bütün üzerinde eşit birim kesir ölçüsü demek.

Örneğin 2/3 + 3/4 için üçte birlik ve dörtte birlik parçaları doğrudan aynı tür parçalarmış gibi sayamayız. Ortak birim olarak on ikide birlik parçaları seçersek 8/12 + 9/12 = 17/12 = 1 tam 5/12 olur. Payda eşitlemenin gerekçesi, parçaları aynı ölçüye getirmektir.

Öğrencilerde sık görülen bir yanılgı, payları ve paydaları ayrı ayrı toplamaktır. Bu örnekte 2/3 + 3/4 için 5/7 yanıtını verirlerse çubukları uç uca yerleştirelim. Toplam 1’den büyükken 5/7’nin 1’den küçük kaldığı açıkça görülür. Böylece bu yöntemin neden doğru olmadığını model üzerinden tartışabiliriz.

Sayı doğrusundaki farkı kesir çubuklarıyla dolduralım

Sayı doğrusunda yalnızca oklar kullanmak yerine kesir çubuklarını da işe katalım. Öğrencilerden, kesirleri hemen denk gösterimlere çevirmeden önce aradaki farkı hangi parçalarla doldurabileceklerini denemelerini isteyelim.

Buradaki hedef yalnızca tahmin etmek değil: Paydaların ortak katlarına ulaşıldığında aradaki farkın tam olarak doldurulabildiğini gözlemlemek. Örneğin 5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12 sonucunu, ortak parçaları model üzerinde sayarak bulabiliriz.

Kesirleri çarpma: Bir miktarın ne kadarını alıyoruz?

Doğal sayılarda çarpmayı tekrarlı toplama üzerinden “kere” ya da “tane” diyerek okuyoruz. Kesirle çarpmaya geçtiğimizde ise bu anlamı genişletmemiz gerekiyor: Bir miktarın bir kısmını almak da çarpma ile ifade edilebilir.

1/3 × 6/8 işlemini “6/8’in üçte biri” diye okuyalım. Altı tane sekizde birlik parçayı üç eş gruba ayırdığımızda her grupta iki parça kalır; sonuç 2/8 = 1/4 olur. Sayısal işlemde de 6/24 = 1/4 elde ederiz. Burada 1/3 çubuğunu doğrudan 6/8 çubuğunun üstüne koymak yeterli değildir: Aradığımız, bir bütünün üçte biri değil, 6/8 miktarının üçte biridir. Öğrencilerin payların ve paydaların çarpılmasıyla model arasındaki bağı birden fazla örnekle kurmalarını sağlayalım.

Sunumdaki diğer modelde 3 tam 1/2 × 4/5 = 14/5 = 2 tam 4/5 miktarını görüyoruz. Üç tane 4/5 ve bir 4/5’in yarısı, toplam on dört tane beşte birlik parçayı oluşturuyor. Daire parçalarını birleştirerek iki bütün ve dört beşte birlik parça elde edebiliriz. Tekrarlı toplama ile bir miktarın kesir kadarını alma anlamlarını birlikte konuşalım.

Beyin fırtınası: Çarpma işlemi bir sayının değerini her zaman büyütür mü? Pozitif bir miktarı 1’den küçük pozitif bir kesirle çarptığımızda ne olur?

Kesirleri bölme: İçinde kaç tane var?

“6 ÷ 2” işlemini “6’nın içinde kaç tane 2 var?” diye okuyabiliriz. Kesirlerde de aynı soruyu modelle soralım. Böylece bölme kuralından önce bölmenin anlamını görünür kılabiliriz.

Sunumdaki örneklerden 3/4 ÷ 1/8 işlemi, “3/4’ün içinde kaç tane 1/8 var?” sorusudur. 3/4 = 6/8 olduğuna göre, altı tane sekizde birlik parça vardır. Sonuç 6 olur.

Bir de 5/6 ÷ 2 örneğini inceleyelim. 5/6, beş tane altıda birlik parçadan; 2 ise on iki tane altıda birlik parçadan oluşur. Dolayısıyla 5/6 miktarı, 2 miktarının 5/12 kadarıdır. İşlemde de 5/6 × 1/2 = 5/12 sonucuna ulaşırız.

Diğer modelde 1 ÷ 1/2 = 2 ve 2 ÷ 1/3 = 6 ilişkilerini görüyoruz. Öğrenci parçaları sayarak sonuca ulaştıktan sonra, bölme işleminin bölenin çarpmaya göre tersiyle çarpılarak yapılmasıyla bu model arasında bağ kurabiliriz.

Beyin fırtınası: Bölme işlemi bir sayının değerini her zaman küçültür mü? Pozitif bir miktarın içinde yarımları ya da üçte birlikleri saydığımızda sonuç neden miktarın sayısal değerinden büyük çıkabilir?

Öğretimde kurmak istediğimiz bağ

Bu modellerin ortak amacı, öğrencinin kesirleri yalnızca pay ve payda üzerinde yapılan işlemler olarak görmesini önlemek. Aynı sayıyı farklı gösterimlerle tanıyabilmek, büyüklüğünü sayı doğrusunda görebilmek ve işlemin anlamını model üzerinden açıklayabilmek, kuralları anlamlı hale getiriyor.

Ders boyunca “Bu işlem nasıl yapılır?” sorusunun yanına “Bu model neyi gösteriyor?”, “Neden aynı miktar?” ve “Sonuç nasıl bir büyüklük olmalı?” sorularını ekleyelim. Öğrencinin açıklaması, ezberlediği kuraldan çok daha fazlasını görmemizi sağlayabilir.

✨ Gözde | Mathlooq · Matematik eğitimi üzerine notlarım