“Öğretmenim, üslü ifadeleri neden öğreniyoruz?”
Bu soruya çoğu zaman “Büyük sayıları daha kısa yazmak için.” diye cevap veriyoruz. Bu açıklama doğru olsa da öğrencinin zihninde başka bir soru bırakabiliyor: “Uzun yazsak ne olur?”
Bir gösterimin ne işe yaradığını anlamak için önce ona ihtiyaç duymak gerekiyor. Üslü ifadelerde de işe tanımı vererek değil, giderek büyüyen bir durumu birlikte inceleyerek başlayabiliriz.
Benim bu amaçla kullandığım etkinliğin adı: Sırrın güvende mi?
Bir sır kaç kişiye ulaşır?
Öğrencilerden hayalî bir sır düşünmelerini isteyin. Gerçek bir sırlarını paylaşmaları gerekmiyor; burada merak ettiğimiz, bir bilginin nasıl yayıldığı.
Hikâyemiz şöyle başlasın:
Bir kişi, sırrını üç arkadaşına anlatıyor. Ertesi gün bu üç arkadaşın her biri, sırrı üç yeni kişiye söylüyor. Sonraki gün de sırrı yeni öğrenen herkes üç yeni kişiye anlatıyor.
Bu hikâyede bir koşulumuz var: Sırrı duyan herkes birbirinden farklı. Kimse sırrı ikinci kez duymuyor ve herkes yalnızca öğrendiği günün ertesi günü paylaşım yapıyor.
Gerçek hayatta arkadaş çevreleri kesişebilir. Biz şimdilik bu durumu sadeleştirerek sayılar arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz.
Öğrencilerden ilk üç günü çöp adamlarla çizmelerini isteyin. İlk gün üç kişi çizmek kolaydır. İkinci gün her birinin altına üç kişi daha eklenir. Üçüncü gün geldiğinde ise kâğıt kalabalıklaşmaya başlar.
Ardından sorun:
“Her gün sırrı yeni öğrenen kaç kişi var?”
| Gün | O gün sırrı yeni öğrenen kişi sayısı |
|---|---|
| 1. gün | 3 |
| 2. gün | 3 × 3 = 9 |
| 3. gün | 3 × 3 × 3 = 27 |
Burada sorudaki “yeni öğrenen” ifadesini özellikle vurgulayın. Üçüncü gün sırrı yeni öğrenen 27 kişi vardır. O güne kadar sırrı bilenlerin toplamı ise başka bir sorunun cevabıdır.
Peki, onuncu günü de çizebilir miyiz?
İlk üç günün ardından hemen üslü gösterimi açıklamak yerine çizimi biraz daha sürdürmeyi önerin:
“Dördüncü günü de çizelim mi? Peki ya beşinci günü? Onuncu gün için kâğıdımız yeter mi?”
Çizim büyüdükçe öğrenciler her kişiyi tek tek göstermenin zorlaştığını fark eder. Sayıyı bulmak için bütün çöp adamları çizmeye ihtiyacımız yoktur. Çünkü çizimde tekrar eden bir düzen vardır: Her aşamada kişi sayısı üç katına çıkar.
Beşinci gün sırrı yeni öğrenenlerin sayısını şöyle yazabiliriz:
3 × 3 × 3 × 3 × 3
Peki aynı çarpanı daha fazla kez kullanmamız gerekseydi? Her seferinde bütün üçleri yan yana yazmak yerine, tekrar eden çarpanı ve kaç kez kullanıldığını gösterebiliriz:
3⁵
Bu ifadede 3, yani taban, tekrar eden çarpandır. 5, yani üs, çarpımda beş tane 3 bulunduğunu söyler.
Üslü gösterim böylece yalnızca yazıyı kısaltmaz. İncelediğimiz durumun yapısını da görünür kılar: Beş aşama boyunca tekrar eden, üçle çarpma işlemidir.
Neden 3 × 5 değil de 3⁵?
Etkinliğin üzerinde durmaya değer sorularından biri de budur.
“Beşinci gün neden 3 × 5 yazmıyoruz?”
Cevabı yalnızca “Kural böyle.” diyerek açıklamak yerine iki farklı hikâyeyi karşılaştıralım.
Her gün üç yeni kişi sırrı öğrenirse, beş gün boyunca toplam 3 × 5 = 15 yeni kişi öğrenir. Her gün eklenen kişi sayısı aynıdır.
Sırrı yeni öğrenen her kişi üç yeni kişiye anlatırsa, günlük yeni kişi sayıları 3, 9, 27, 81, 243 şeklinde ilerler. Beşinci gün yeni öğrenenlerin sayısı 3⁵ = 243 olur.
Birinde her gün 3 ekliyoruz. Diğerinde bir önceki günün sayısını 3 ile çarpıyoruz.
Öğrencinin bu farkı açıklayabilmesi, üslü ifadenin değerini hesaplaması kadar önemlidir. Çünkü hangi işlemi kullanacağını belirleyen şey, hikâyedeki ilişkinin kendisidir.
Üslü ifadeler yalnızca büyük sayılar için mi?
Etkinliğimizde sayılar hızla büyüdü. Fakat üslü gösterimin kullanım alanı büyük sayılarla sınırlı değildir.
Örneğin:
10³ = 1000
Sekizinci sınıfta negatif üslerle birlikte aynı gösterimin küçük pozitif sayıları ifade etmede de işe yaradığını görebiliriz:
10⁻³ = 1/1000 = 0,001
Burada küçük bir ayrıntı önemlidir: Üssün negatif olması, sonucun mutlaka negatif olduğu anlamına gelmez. Bu örnekte negatif üs, 10³’ün çarpmaya göre tersini gösterir.
Dolayısıyla üslü ifadeleri yalnızca “Çok büyük sayıları kısa yazmanın yolu.” olarak tanıtmak eksik kalır. Tekrar eden çarpımları ifade etmek için başladığımız bu gösterim, sıfır ve negatif üslerle daha geniş bir anlam kazanır.
Cevabı vermeden önce ihtiyacı fark ettirmek
Bu etkinlikte çöp adamlar yalnızca sayfayı renklendirmek için yok. Her bir dal, aynı çarpma ilişkisinin yeniden kurulmasını gösteriyor.
Öğrenci önce çiziyor, ardından çizimdeki düzeni fark ediyor. Çizim sürdürülmesi güç bir hâle geldiğinde ise daha kısa bir gösterim arıyor. 3⁵, bu arayışın sonunda anlam kazanıyor.
Dersi şu soruyla tamamlayabilirsiniz:
“Her kişi üç yerine iki yeni kişiye anlatsaydı, beşinci gün sırrı yeni öğrenenlerin sayısını nasıl yazardın? Yazdığın ifadede taban ve üs neyi anlatırdı?”
Öğrencinin 2⁵ yazması bir başlangıçtır. “Her aşamada ikiyle çarptığımız için taban 2, beş aşama olduğu için üs 5.” diye açıklayabilmesi ise gösterimle hikâye arasında bağ kurduğunu gösterir.
“Üslü ifadeler neden var?” sorusunun cevabı da bu bağın içinde belirir: Aynı çarpanı tekrar tekrar kullandığımız durumları kısa, açık ve düzeni görebileceğimiz bir biçimde anlatmak için.